sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
最后以省略号结束，代表 “ 无穷 ”，需要求的就是 a0，a1，a2，…… 的值，准确地说就是通项公式。然后，我们就可以开始 “ 微分 ” 了，就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分，其实是四个一循环的:sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x，再回到 sin x……我们也会注意到，凡是把右边微分后，第一项(常数)就为 0 了，也就是可以直接忽略。
这样一来，等式左边在有规律地循环着，等式右边每次都减少一项。当然，x = 0 时等式也会成立，那将 x = 0 带入，将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)。这样一来，就可以顺利求出 a0，a1，a2，……啦，sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程，下面是对于所有系数得到的等式。
最后，等式左边是四个一循环，可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后，等是右边可以用字母来代替，就是 k! × ak，这里 k! 代表阶乘。所以说，我们可以得到一个看上去漂亮的结果:
如果将系数数列 a 代入，那么偶数项都会消掉(系数为 0)，只剩下一加一减的奇数项了。这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个，这里只是 sin x 的泰勒展开):
如何用泰勒公式求极限值？
在数学的广阔领域中，极限是一个至关重要的概念，在许多分支如微积分、实分析等都有着举足轻重的地位。而在解决涉及极限问题的过程中，泰勒公式无疑是一种极为强大且实用的工具。
首先，我们需要明确什么是泰勒公式以及其基本原理。泰勒公式是表达式函数的一种近似方法，它以给定点为中心展开成无穷级数的形式。具体而言，若一函数在其某点a处具有n阶导数值，则该函数可以表示为一个关于（x-a）的多项式的叠加，即泰勒公式。换言之，我们将一个复杂的函数通过逼近的方式转化为一个多项式来进行研究，大大简化了计算过程。
接下来让我们进一步阐述如何利用泰勒公式来求解极限问题。通常情况下，我们遇到的极限问题是寻求某个变量趋于某一特定值时，原表达式的极限值是多少。此时我们可以考虑使用泰勒公式对原表达式进行近似替换，即将原表达式中的部分或全部项替换为其对应的泰勒展开式，并通过对新表达式的运算得出结果。
为了更好地理解这一概念，下面我们以具体的例子来进行说明：
例：试求当x趋近于0时，sin(x)/x的极限值。
解析：根据泰勒公式的相关知识我们知道，对于任意正整数n，有 sin(x) = Σ (-1)^k * (x^(2k+1)) / (2k+1)! ，其中Σ表示求和符号，k取自0到n。于是我们先将sin(x)用它的泰勒公式展开式代入原表达式得到：
sin(x) / x = [Σ (-1)^k * (x^(2k+1)) / (2k+1)!] / x
接着继续化简上述表达式，因为题目要求的是x趋向于0的情况，所以除以x之后，只有当指数为奇数的时候才会留下非零项；并且由于分母都是大于等于1的正整数，因此可以直接忽略掉所有偶数项。这样我们就得到了一个新的表达式：
sin(x) / x ≈ Σ (-1)^(k) * ((x^(2k-1)) / (2k-1)!) （其中k取奇数）
最后再结合几何级数的知识可知，当x→0时，上式的结果应当为1/2π。这就完成了我们的证明过程。
综上所述，借助泰勒公式展开法不失为一种高效快捷地解决极限问题的有效手段。当然值得注意的是，这种方法并非万能钥匙，在面对某些特殊类型的极