实际上,对于不定积分与非反常积分,都应该考虑换元函数的单调性问题。因为从本质上说换元函数之间就是一对函数与反函数的关系,即x=x(t)与t=t(x),这种关系本身就有单调性的约束,重要的是这种反函数关系在后续证明或计算步骤中均要用到。虽然在教材中没有明确提出,但我们还是可以在相关例题中见到一些端倪:
一是明确其转换的范围,例如令x=sin(t)时,我们限定t在[-π/2,π/2]内,保证了x=sin(t)是单调的;不过在求不定积分时的换元,其目的是求原函数,所以要换回来,抵消了或掩盖了其单调性的要求。
二是在利用换元法求积分(包括定积分)时,我们为了避免函数的多值性,人为地进行了分割区间处理,如当x>0时得出(1)结果,当x<0时得出(2)结果,x=0时得出(3)结果,最后分析是否可以合并成一个结果等;再如就是根据被积函数的特征,针对性地将定积分的区间分割成子区间,使每个子区间内的换元函数具有单调性。
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