ä¾å¦ä¸ç§æ¹å¼è®¡ç®ä¸å®ç§¯åâ«xâ(x+2)dxã
主è¦å 容ï¼
éè¿æ ¹å¼æ¢å ãå项åå以ååé¨ç§¯åæ³çç¸å ³ç¥è¯ï¼ä»ç»ä¸å®ç§¯åâ«xâ(x+2)dxçä¸ç§è®¡ç®æ¹æ³åæ¥éª¤ã
æ ¹å¼æ¢å æ³ï¼
设â(x+2)=tï¼åx=(t^2-2),ä»£å ¥å¾ï¼
â«xâ(x+2)dx
=â«t*(t^2-2)d(t^2-2),
=2â«t^2*(t^2-2)dt,
=2â«(t^4-2t^2)dt,
=2/5*t^5-4/3*t^3+C,
=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,
æ ¹å¼é¨åååæ³
â«xâ(x+2)dx
=â«xâ(x+2)d(x+2),
=2/3â«xd(x+2)^(3/2),
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3â«(x+2)^(3/2)dx,
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3â«(x+2)^(3/2)d(x+2),
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,
æ´å¼é¨åååæ³
A=â«xâ(x+2)dx,
=(1/2)â«â(x+2)dx^2,
=(1/2)x^2â(x+2)-(1/2)â«x^2dâ(x+2),
=(1/2)x^2â(x+2)-(1/4)â«x^2/â(x+2)dx,
=(1/2)x^2â(x+2)-(1/4)â«[x(x+2)-2*(x+2)+4]/â(x+2)dx,
=(1/2)x^2â(x+2)-(1/4)A+1/2â«â(x+2)dx-â«dx/â(x+2),
å³ï¼(5/4)A=(1/2)x^2â(x+2)+1/2â«â(x+2)dx-2â«dx/2â(x+2),
A=(2/5)x^2â(x+2)+2/5â«â(x+2)d(x+2)-8/5â(x+2),
A=(2/5)x^2â(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*â(x+2)+Cã
ä¸å®ç§¯åæ¦å¿µ
设F(x)æ¯å½æ°f(x)çä¸ä¸ªåå½æ°ï¼æ们æå½æ°f(x)çææåå½æ°F(x)+ C(å ¶ä¸ï¼C为任æ常æ°ï¼å«åå½æ°f(x)çä¸å®ç§¯åï¼åå«åå½æ°f(x)çå导æ°ï¼è®°ä½â«f(x)dxæè â«fï¼é«ç微积åä¸å¸¸çå»dxï¼ï¼å³â«f(x)dx=F(x)+Cã
å ¶ä¸â«å«å积åå·ï¼f(x)å«å被积å½æ°ï¼xå«å积ååéï¼f(x)dxå«å被积å¼ï¼Cå«å积å常æ°æ积å常éï¼æ±å·²ç¥å½æ°çä¸å®ç§¯åçè¿ç¨å«å对è¿ä¸ªå½æ°è¿è¡ä¸å®ç§¯åã
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æ±å½æ°f(x)çä¸å®ç§¯åï¼å°±æ¯è¦æ±åºf(x)çææçåå½æ°ï¼ç±åå½æ°çæ§è´¨å¯ç¥ï¼åªè¦æ±åºå½æ°f(x)çä¸ä¸ªåå½æ°ï¼åå ä¸ä»»æç常æ°Cå°±å¾å°å½æ°f(x)çä¸å®ç§¯åã
ä¸å®ç§¯åç主è¦è®¡ç®æ¹æ³æ:ååæ³ãå ¬å¼æ³ã第ä¸ç±»æ¢å æ³ã第äºç±»æ¢å æ³ãåé¨ç§¯åæ³åæ³°åå ¬å¼å±å¼è¿ä¼¼æ³çã
计算过程如下:
sinx/(sinx+cosx)的不定积分
=∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx
= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx
= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx
= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)
= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C
不定积分的证明:
如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x)使对任意x∈I,都有F'(x)=f(x),那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I,G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。