设f（x）是连续周期函数，周期是T 证明∫（a,a+T）f（x）dx=n∫（0,T）f（x）dx

Question

如题所述

Answer 1

这个式子是对的,由于f(x)是以T为周期,因此在一个周期内函数所围的曲边梯形面积肯定是相同的所以你得出这个结论并不奇怪,只是这样可能证不出结论.
本题如果用换元法,应该这样证明
∫[a→a+T] f(x)dx
=∫[a→0] f(x)dx + ∫[0→T] f(x)dx + ∫[T→a+T] f(x)dx
然后通过换元证明第一项和第三项正好抵消.
下面提供一个更简单的证法：
将a看作变量,令g(a)=∫[a→a+T] f(x)dx
则：g'(a)=f(a+T)-f(a)=0,因此g(a)与a无关,则g(a)=g(0)
即∫(a→a+T)f(x)dx=∫(0→T）f(x）dx