很简单的高数极限题

Question

如题所述

Answer 1

解：
1、(x->0)lim (sinx/x)^(1/x²)
=(x->0)lim[(1 - (x-sinx)/x]^[(x/(x-sinx)) * (x-sinx)/x *(1/x²)] /**配项，重要极限e
=(x->0)lim{[(1 - (x-sinx)/x]^[x/(x-sinx)]} ^[(x-sinx)/x³]
=(x->0)lim (1/e)^[(x-sinx)/x³] /**罗必达法则
=(x->0)lim (1/e)^[(1-cosx)/(3x²)] /**罗必达法则
=(x->0)lim (1/e)^[sinx/(6x)] = e^(-6)

2、(x->0)lim (e^x -e^(sinx))/(x-sinx) /**罗必达法则
=(x->0)lim (e^x -e^(sinx) *cosx)/(1-cosx) /**罗必达法则
=(x->0)lim (e^x -e^(sinx)*cos²x + e^(sinx)* sinx)/sinx /**罗必达法则，末项移出
=(x->0)lim [(e^x -e^(sinx) *cos³x) + 2e^(sinx)* sinx*cosx)/cosx] + (x->0)lim e^(sinx) *sinx/sinx
= 1-1+0+1 =1

Answer 2

利用两个重要极限：lim(t→0)(sint/t)=1， lim(t→0)(1+t)^(1/t)=e。题中极限可改写为：lim(x→0)｛[1+(sinx-x)/x]^[x/(sinx-x)]｝^[(sinx-x)/(x^3)]，花括弧中的极限为e，应用洛比塔法则可知指数的极限为-1/6，所以原式极限为e^(-1/6)。