设f(X) = (X-z1)(X-z2)....(X-zn) = a0 X^n + a1 X^n-1 + ... + an, z1的倒数1/z1是f(x)的根，那么
a0 (1/z1)^n + a1 (1/z1)^n-1 + ... + an = 0
也就是
an z1^n + ... + a1 z1 + an = 0
设g(X) = an X^n + ... + a1 X + an（系数和f 刚好倒过来），那么g(z1) = 0。因为f不可约，所以f是z1的极小多项式。所以f(X)|g(X). 但它们次数相同，所以它们只差一个常数倍。于是f的根和g的跟完全相同。所以，对每一个zk
an zk^n + ... + a1 zk + an = 0
也就是
a0 (1/zk)^n + a1 (1/zk)^n-1 + ... + an = 0
即f(1/zk)=0
************************************如有不懂******欢迎追问************************************
追问因为f不可约，所以f是z1的极小多项式。所以f(X)|g(X). 这句没看懂，数的多项式里有极小多项式的概念吗，如果x=z1,z1是无理数比如根号二，那么极小应该是x^2-2,如果是复数最小的花零多项式也应该是一个二次方程啊，这里f的次数已经是n，怎么会是极小的呢？这个f(X)|g(X)也不大明白
追答不可约的肯定就是极小的了，因为如果p(x)是极小的，那f(x)一定是p(x)的倍数，那就可约了。
如果是复数相对于实数，不可约的最多二次，但是相对于有理数可以有很多次，例如x^3-2在有理数上不可约。
有一个结论是这样的：如果f(x)=0，p(x)是x的极小多项式，那么p(x)|f(x)
更正两点，原回答中的g常数项错了，应该是a0