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高等代数多项式有理数域可约问题,f不可约的充要条件是g(x)=f(ax+b)不可约,怎么样才能找到适合的b呢?
比如:f=x^6+x^3+1,直接用爱森斯坦判别法不行,但如果找到合适的y=x+b就可以用了,但是这个b不知道怎么找,大家有什么方法能找到合适的b吗?
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推荐答案 2012-12-04
既然是有理数域可约问题,一般可以尝试y=x+1,y=x-1,y=x+2,y=x-2,y=2x+1,y=2x-1等
因为根据艾森斯坦判别法,最高次系数越小,其它次项系数越大,更容易找到不能整除最高次系数而能整除其它次项系数的素数。再者,多项式各项系数过大也不易于寻找满足条件的素数
对于你所提及的x^6+x^3+1,令y=x-1,则x=y+1
x^6+x^3+1
=y^6+6y^5+15y^4+20y^3+15y^2+6y+1 + y^3+3y^2+3y+1 + 1
=y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3
对于素数3,3不能整除1;3能整除6、15、21、18、9、3;3^2不能整除3
所以多项式y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3在有理数域内不可约
即,多项式x^6+x^3+1在有理数域内不可约
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其他回答
第1个回答 2012-12-04
通过我所接触到的这类题目,用x=y+1,x=y-1其中之一能解决问题的占了100%。所以我的建议是只用试试x=y+1,x=y-1,如果都不成功,很可能说明本题不能用
爱森斯坦
判别法。尝试其他方法。
顺便,如果你想刨根问底,可以在百度问 电灯剑客 ,他是
高等代数
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...
域不可
约
可约问题的充要条件g(x)=f(ax+b)不可约,
在具体做题中
b怎么
...
答:
f(x+
1
)=(x+
1)^6
+(x+
1)^3+1 =x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1+x^3+3x^2+3x+1+1 =x^6+6x^5+15x^4+21x^3+18x^2+9x+3 取质数p=3,后面用爱森斯坦判别法,(1)x^6的系数不是p的倍数 (2)x^5...x^0的系数都是p的倍数 (3)x^0的系数不是p^2的倍数 ...
怎么
证明
有理
系数
多项式f(x)不可约的充要条件是f(ax+b)不可约
?
答:
条件应该有a,
b都是有理数
且a ≠ 0.证明其实不难.充分性可表述为: 若f(x)
可约,
则
f(ax+b)可约
.由f(x)可约, 可设
f(x) =
g(x)h(x), 其中
g(x),
h(x)是次数不小于1的有理系数
多项式
.于是f(ax+b) = g(ax+b)h(ax+b).而a, b都是有理数且a ≠ 0, 故g(ax+b), h...
有理数可约
性
问题
。大学以上学历专家学者进来看!~
答:
我来说说思路:(1)必要性。假设g(x)在
有理数域
上
可约,
则g(x)=m(x)n(x)其中 m(x)、n(x)都是有理数系数
多项式
由于
g(x)=f(ax+b)
,令x=(t-b)/a 显然其中a不等于0 于是,f(t)=g((t-b)/a)=m((t-b)/a)n((t-b)/a)所以f(x)=m((t-b...
高等代数
:
有理数域
上的
不可约多项式
答:
对于 5x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x - 7</,尽管看起来可能有有理根,但通过排除法证明其实它是
不可约的
。通过这些实例,我们不仅锻炼了数学技巧,也更加理解了
有理数域
上
不可约多项式
的判别法在实际问题中的应用价值。探索数学之美,就从理解这些基础概念开始吧!
怎样判断
多项式
在
有理数域
上可约或
不可约
?
答:
1、艾森斯坦因判别法:设
f(x)=
a₀+a₁x+...+aₙxⁿ是整系数
多项式,
若有一个素数P使得P不整除aₙ,但整除其他aᵢ(i=0,1,...,n-1);p²不整除a₀,那么f(x)在
有理数域
上市
不可约的
。2、反证法:因为艾森斯坦因判别法只是一个...
怎么
证明
有理
系数
多项式f不可约的充要条件是f不可约
答:
由g整除f,设f=r(x)
g(x)
因为p
不可约
切不能整除g,故两者互素从而p只能整除r(x),设r
(x)=
p(x)s(x)于是f=s(x)pg即pg整除f
三次整系数
多项式是有理数域
上的
不可约多项式的充要条件是
什么?
答:
如果 f(x) 在
有理数域
上
不可约,
那么 f(x) 在整数环上不可约且在模 p 意义下不可约,其中 p 是任意一个质数。因为如果 f(x) 在整数环上可约,则可以分解成两个次数小于三次的整系数
多项式
g(x)
和 h(x),但这与 f(x) 在有理数域上不可约矛盾。同样的,如果 f(x) 在模 p ...
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