设f(x)在x=0处连续，且lim(x趋于0）f(x)/x^2=1 ,证明函数f(x)在x=0处可导且取得极小值。

Question

如题所述

Answer 1

f（x）在x=0处的导数为f‘（0）=lim(x趋于0）[f(x)-f(0)]/x
因为f(x)在x=0连续，且lim(x趋于0）f(x)/x^2=1，所以f（0）=0
lim(x趋于0）[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0）f(x)/x

lim(x趋于0）f(x)/x^2=1,说明f（x）在x=0处于x^2是等价无穷小

所以lim(x趋于0）f(x)/x=lim(x趋于0）x^2/x=x=0，证明f（x）在x=0可导，切f ’ （x）=x

当x《0时，f ’ （x）<0,当x>0时，f ’ （x）>0，说明f(x)在x=0取极小值追问

可以利用洛必达法则直接写出一阶导和二阶导的值么？然后利用二阶导等于二，大于零直接写是极小值

追答

那你不是还要证明f（x）的二阶导存在嘛

追问

可是洛比达不可以直接写出fx的导数么？只能用导数定义？

追答

不行吧

来自：求助得到的回答