设f(x)在闭区间[0，1]上连续，f(0)=f(1),证明存在x0属于[0，1]，使得f(x0)=f(x0+1/4)

如题所述

推荐答案 2013-11-20

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其他回答

第1个回答推荐于2016-12-02

证明：令f(0)=f(1)=a,f(3/4)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/4)
分情况:
1.若a=b则
x0=3/4时f(x0)=f(3/4)=f(1)=f(x0+1/4)
显然满足
2.若a<b则
F(0)=f(0)-f(3/4)=a-b<0
F(3/4)=f(3/4)-f(1)=b-a>0
且F(x)在[0,3/4]上连续
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
即f(x0)=f(x0+1/4)
3.若a>b则
与2同样方法
F(0)>0,F(3/4)<0
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
f(x0)=f(x0+1/4)
综上所述，存在x0(0<=x0<=1)使f(x0)=f(x0+1/4)得证本回答被提问者和网友采纳

第2个回答 2012-12-13

构造g(x)=f(x+1/4)-f(x),则g(x)在[0,1]是连续函数
注意到，g(0)+g(1/4)+g(1/2)+g(3/4)=0
若g(0)、g(1/4)、g(1/2)、g(3/4)全为0，则命题得证
否则，这四个数中必有一正一负，由于g(x)连续，所以必存在x0，使得g(x0)=0.证毕

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函数f(x)在区间[0,1]上连续,且f(0)=f(1).证明存在ξ∈[0,1],使得f...答：令 F(x) = f(a+x)-f(x) 则F(x)在[0,2a]上连续 F(a) = f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)F(0) = f(a)-f(0) =-F(a)由闭区间连续函数介值定理,必然存在一点ξ,使得F(X)的值为0 即是题目所要你证明的等式f(ξ)=f(ξ+a)

...设f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)=0,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1...答：令g(x)=f(x)-f(x-1/3)-1/3,则g(x)连续；设m=<g(x)<=M;g(1)=f(1)-f(2/3)-1/3=2/3-f(2/3);g(2/3)=f(2/3)-f(1/3)-1/3;g(1/3)=f(1/3)-1/3;g(1)+g(2/3)+g(1/3)=0;又因为3m=<g(1)+g(2/3)+g(1/3))<=3M；所以m<=0且M>=0 所以...

设函数f(x)在〔0,1〕上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明答：F=f(x)e^(x/2),F在区间[0,1]満足罗尔定理的条件.由罗尔定理,在(0,1)内至少有一点ξ,使F'(ξ)=0,但F'(x)=f'(x)e^(x/2)+(1/2)f(x)e^(x/2),代入即得结论本回答由提问者推荐举报| 评论 2 6 nsjiang1 采纳率:65% 擅长: 数学教育/科学理工学科 ...

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