设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1)内可导，且f（0)=f（1)=0

Question

设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1)内可导，且f（0)=f（1)=0证明存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+f'(ξ)＝0.

Answer 1

令F(x)=f(x)e^x
F'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]
F(0)=f(0)e^0=0
F(1)=f(1)e^1=0
F(0)=F(1)=0
根据罗尔定理，
存在ξ∈(0,1)使
F'(ξ)=0
e^ξ[f'(ξ)+f(ξ)]=0
f'(ξ)+f(ξ)=0

Answer 2

证明：
构造函数：
F(x)=(e^x)f(x)，
显然该函数在(0,1)上可导，[0,1]连续，且：
F(0)=f(0)=0
F(1)=e·f(1)=0
根据罗尔定理：
∃ξ∈(0,1)，使得：
F'(ξ)=0
即：
F'(ξ)=(e^ξ)[f(ξ)+f'(ξ)]=0
又∵
e^ξ ≠0
∴
f(ξ)+f'(ξ)=0
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