怎么证明：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是y= f (a+x)+b为奇函数？

Question

怎么证明：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是y= f (a+x)+b为奇函数？

Answer 1

给出如下的参考证明，如下。
先证必要性，再证充分性！
必要性
设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,
∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x,2b－y）也在y = f (x)图像上,
∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b
令x=a+X，则 f(a+X)+f(a-X)=2b
则 对于函数 y=f(x+a)+b
f(-x+a)+b= 2b-f(a+x)-b=-[f(x+a)-b]=-y,
所以，f(x+a)-b为奇函数
必要性得证.
充分性
设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)
因为y=f(x+a)-b为奇函数，所以，有: f(-x+a)-b=-f(x+a)+b
令a-x=X,则 a+x=2a-X
所以上式可化为
f (X) + f (2a－X) =2b
∴f (x0) + f (2a－x0) =2b,
即2b－y0 = f (2a－x0) .
故点P‘（2a－x0,2b－y0）也在y = f (x) 图像上,而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称,
充分性得征.追问

为什么得到f (x) + f (2a－x) = 2b,必要性就得证了
不应该得出y= f (a+x)+b为奇函数，必要性才能得证吗
充分性也是这样