已知函数fx=lnx,gx=a(x2-x)，hx=fx-gx.若a=1，求函数hx的值。若函数在y=hx在[1，

Question

已知函数fx=lnx,gx=a(x2-x)，hx=fx-gx.若a=1，求函数hx的值。若函数在y=hx在[1，正无穷大）上单调递减，求a的取值范围

Answer 1

答：

f(x)=lnx，g(x)=a(x²-x)

h(x)=f(x)-g(x)=lnx-ax²+ax

若a=1，则：

h(x)=lnx-x²+x，x>0

求导得：

h'(x)=1/x-2x+1=-(2x²-x-1)/x

令h'(x)=-(2x²-x-1)/x=0

即：2x²-x-1=(2x+1)(x-1)=0

解得：x=1（x=-1/2不符合x>0舍弃）

当0<x<1时，h'(x)>0，h(x)是增函数；

当x>1时，h'(x)<0，h(x)是减函数；

所以：当x=1时h(x)取得极大值为h(1)=0-1+1=0

所以：h(x)的极大值为0

h(x)=lnx-a(x^2-x)
h'(x)=1/x-a(2x-1)=(-2ax^2+ax+1)/x<0在x>=1上恒成立
即有2ax^2-ax-1>0在x>=1上成立
设m(x)=2ax^2-ax-1,对称轴是x=a/4a=1/4,那么有a>0且在[1,+无穷)上单调增.
即有m(1)=2a-a-1>0,得到a>1