设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a,b∈[-1,1],当a+b≠0时，都有f(a)+f(b)/a+b＞0

Question

⑴试问函数f(x)的图像上是否存在两个不同的点A,B，使直线AB恰好与Y轴垂直，若存在，求出A,B两点的坐标；若不存在，说明理由并加以证明。 ⑵若1/2f(x)≤m^2+2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m的取值范围。
全过程！

Answer 1

不存在。证明，假设存在，那么YA=YB  
a=XA,-b=XB,因为是奇函数，所以f(b)=-f(-b)
f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(XA)-f(XB)=YA-YB    a+b=XA-XB
得(YA-YB)/(XA-XB)>0  这与YA=YB矛盾，所以假设不成立

由（1）的证明可看出f(x)是【-1,1】上的增函数，所以最大值为f(1)=2
m^2+2ma+1>1/2f(x)恒成立只需要左边大于右边的最大值即可，
得m^2+2ma+1>1在a属于【-1,1】上恒成立，
当m不等于0时，整理得-m/2>a,只需要-m/2>1,即m<-2就行，
当m=0时，不等式不成立。
综上所诉，m<-2

Answer 2

令-1<x1<x2<1   

令a=x1  b=-x2带入f(a)+f(b)/a+b>0

所以[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0

因为f(-x2)=-f(x2)

所以[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0

所以f(x1)<f(x2)   

证明得f(x) 是增函数

因为是增函数，所以图像是一直向上，

所以AB两点y值绝不一样

所以不存在

2.f(x)max=f(1)=1

即m²+2am+1≥1  在a∈[-1,1]恒成立 ==>m²+2am≥ 0在a∈[-1,1]恒成立

令g(a)=2m*a+m² 

所以g(-1)≥0  ==>m²-2m≥0 ==>m(m-2)≥0   ==>m≥2或m≤0

g(1)≥0  ==>m²+2m≥0  ==>m(m+2)≥0   ==>m≥0  或m≤-2

综上可得m≤-2或m≥2或m=0