等价无穷小在加减运算中什么条件下才能用?

Question

我在百度百科中看到这么一句话:等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（也不是不能替换，但是有条件）请问这个条件具体指什么?可以的话顺便举个例子?

Answer 1

其实大部分的加减法替换能成功都是偶然的。如果硬要说条件的话就是替换后必须是原极限要变成“两个极限加减的形式而且这两个极限都必须存在”

比如

lim (sinx+tanx+x)/x （x->0)=lim (x+x+x)/x=3

这个结果是对的，但严格来说，这种做法并不严谨，实际上只是下面这种做法的一个简化

lim (sinx+tanx+x)/x （x->0)=lim sinx/x+lim tanx/x+lim x/x=lim x/x+lim x/x+lim x/x=1+1+1=3

注意因为x->0时sinx/x和tanx/x以及x/x的极限都存在，所以能这样做。如果不满足这个条件，得到的答案十有八九都是错的

所以按照书本指定的做法来做才是万无一失的，既不应该也不需要用这些偏门又危险的做法

扩展资料：

等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小。 从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

求极限时，使用等价无穷小的条件 ：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小等价替换定理

(1)若 ，则  ；

(2)若  ，则  。

证明：

(1)  。

(2)  。

性质

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、若函数  在某 的空心邻域内有界，则称g为当  时的有界量。

例如  ，都是当  时的无穷小量，  是当  时的无穷小量，而  为  时的有界量，  是当  时的有界量。特别的，任何无穷小量也必定是有界量。

5、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

6、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

7、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

8、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

9、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

参考资料：百度百科-等价无穷小

Answer 2

加减情况下，你拆项以后得每一个子项如果极限也存在，那么就可以替换。如果有子项不存在，就不能替换。对应两个例子:lim(sinx+x)/x (x趋近于0)，这个拆开后两个子项都存在且为1，则结果为1+1=2；
lim(ln(1+x)-x)/x² (x趋近于0)，这个拆开后，第二个子项极限为无穷，则不能替换！

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 4

看看泰勒公式，这个是根本性的。有的不能替换，是因为我们所用的无穷小替换是简化版的，略去了高阶项，但是在加减中可能会有意义，比如limx→0((e^1/x-1)/x^2-1/x)直接换就是0，其实是1/2。乘除主要看低阶，高阶忽略。

Answer 5

等价无穷小是从函数的泰勒展开来的，建议先理解泰勒展开再使用等价无穷小加减法替换。比如 x-sinx等价1/6x^3