定义在R上的单调函数

Question

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log2 3 且对任意x y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数(2)若f(k3^x)+f(3^x-9^x-2)<0对任意x属于R恒成立 求实数k的取值范围不会做 要过程 拜托咯

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y)所以f(0)=f(x)+f(-x)特别的，f(0)=f(0)+f(0)所以f(0)=0，所以f(x)+f(-x)=0，即是奇函数。又因为单调，所以是单调递增。f(3^x-9^x-2)=-f(-3^x+9^x+2)所以f(k3^x)+f(3^x-9^x-2)<0等价于f(k3^x）＜f(-3^x+9^x+2)又因为单调递增，所以k3^x＜-3^x+9^x+2所以-(3^x)^2+(k+1)×3^x-2＜0恒成立看成是以3^x为未知数的二次函数。此时自变量取值为（0，+∽）所以要求△＜0或在（0，+∽）上没有根。解得-2√2-1＜k＜2√2-1或k小于-1综上，k的取值为（-∽，2√2-1）

Answer 2

(1)f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)=-f(x),所以f(x)是奇函数

(2)f(3)=log2 3>0,3>0,所以这个函数是单调递增函数
所以f(k3^x)+f(3^x-9^x-2)=f((k+1)3^x-9^x-2)<0
所以(k+1)3^x-9^x-2<0.假设3^x=t,那么9^x=3^2x=(3^x)^2=t^2，因为x∈R，那么t＞0
所以上式可以变化为-t^2+(k+1)t-2<0,这个恒等式对于大于0的恒成立
接下去要分类讨论了，看这个方程有一根，有2个根，无根的情况下讨论
无根的条件下，一直小于0，所以只要△<0，求K值
一个根的情况下△=0，然后求出K值，然后求出最大值，看是否小于0，是的话那这个K值就可以算
当有2个根的情况下△>0，然后要使t≥0的时候恒小于0需要f(0)<0且对称轴小于0.然后解出K值
然后综合上述结果就可以了。

有问题可以追问，满意请采纳，谢谢！

Answer 3

(1)令x=0，y=0，则f(0)=0。 令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0。 所以f(x)为奇函数。(2)因为有f(x+y)=f(x)+f(y)，元函数必定为正比例函数，且过远点。可设f(x)=ax。不等式f(k3^x)+f(3^x-9^x-2)<0可化为ak3^x+a3^x-a9^x-2a<0令3^x=y，值域为y＞0所以aky+ay-ay^2-2a＜0 a[-y^2+(k+1)y-2]＜0现在讨论：设函数g(x)=-y^2+(k+1)y-2，图像开口朝下，在y＞0时，欲使不等式a[-y^2+(k+1)y-2]＜0成立，a必然大于0，那么在y＞0时，g(x)始终小于0，不等式成立。分类讨论：函数g(x)的对称轴(k+1)/2小于0时，g(0)≤0，k＜-1。 g(x)的对称轴(k+1)/2大于0时，g[(k+1)/2]＜0，可得，(-2倍根号2)-1＜k＜(2倍根号2)-1，取并集得k＜(2倍根号2)-1。