求下列一阶线性微分方程的通解：y'-y=xy^5

Question

如题所述

Answer 1

解：令z=1/y^4，则y'=-y^5z'/4
代入原方程，化简得z'+4z=-4x..........(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程求解公式，得方程(1)的通解是
z=1/4-x+Ce^(-4x) (C是积分常数)
==>1/y^4=1/4-x+Ce^(-4x)
==>[1/4-x+Ce^(-4x)]y^4=1
故原方程的通解是[1/4-x+Ce^(-4x)]y^4=1 (C是积分常数)。追问

这是标准答案吗？怎么没有那个C(x)啊？你能详细说一下这一步怎么来的吗？
z=1/4-x+Ce^(-4x) (C是积分常数)

因为最近才开始教一阶线性微分方程，所以不知道你上面是如何计算的，你能详细说一下吗？

追答

∵一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的通解是
y=e^[-∫p(x)dx]*{C+∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx} (C是积分常数)
∴在方程(1)中，令z=y，p(x)=4，q(x)=-4x
代入通解公式，得z=1/4-x+Ce^(-4x) (C是积分常数) (具体过程自己算)。

追问

z'+4z=-4X,，这我懂。但接下来我就乱了，没接触这种题，不会算，还有 z=1/4-x+Ce^(-4x)我都不知道怎么来的，就是不会算，还有，通解不是化作y=x这样的函数吗？怎么成了[1/4-x+Ce^(-4x)]y^4=1 ，你能详细解给我看吗？

追答

太难打字了，这只有你自己代入公式里运算了。
你把通解移项再开四次方就化作y=±1/[1/4-x+Ce^(-4x)]^(1/4)。
你的数学太差了！