如何用确界原理证明连续函数的有界性定理（我有答案，没懂）

Question

大括号部分完全不懂，我基础比较差，帮忙解释详细点呗？谢谢您！

Answer 1

注意S的定义：若c位于S，则f(x)在[a,c]上有界。
按上面的证明，S有上确界d。很显然，d<=b。
分两种情况：
1、当d<b时。因为f(x)在x=d连续，故在d点找一个邻域【d-e，d+e】，
使得f(x)在此邻域上有界。按上确界的定义，在【d-e，d)上存在一点
x1位于S中，即f(x)在【a，x1】上有界，再由刚才的证明，
f(x)在【x1，d+e】上有界，因此f(x)在【a，d+e】上有界，
于是d+e位于S，d+e<=d=supS。这就是矛盾。
2、当d=b时，比上面证明简单一点。还是由于
f(x)在x=b连续，存在【b-e，b】使得f(x)在此邻域上有界。
再由b是上确界，存在x1位于【b-e，b)，使得f(x)在【a，x1】上有界，
因此f(x)在【a，b】上有界。
证毕。追问

您好，谢谢您的解答，有两点没明白
1、“
再由刚才的证明，
f(x)在【x1，d+e】上有界，因此f(x)在【a，d+e】上有界，

”其中“再由刚才的证明”指什么？能详细证一遍吗？
2、我图片中最后一行的“同理b属于S”指的是什么？怎么个同理法？
谢谢您的耐心解答！

追答

1、刚才已经证明在f(x)在【d－e，d+e】上有界，现在d－e<=x1<d，
因此【x1，d+e】是【d－e，d+e】的一个子区间，
f(x)就在【x1，d+e】上有界。
2、按照你写的证明，是用上面的证明过程来证明b属于S。
因为已经证明了b＝supS，
按照上面的证明过程，f(x)先在(b－e，b】上有界，
然后利用b＝supS知道在(b－e，b)中存在点c，使得f(x)在【a，c】上有界，
两者合起来有f(x)在【a，b】上有界。

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