第1个回答 2008-06-22
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
第2个回答 2020-01-24
勾股数a、b、c三数中至少有一个是3的倍数。
证明：由公式
a=n2-m2
b=2mn
（m<n，且奇偶不同的互质的正整数）
c=n2+m2
可知，如果m、n中存在3的倍数，则b=2mn就是3的倍数，则在m=3k1+i，n=3k2+j
（1≤i，j≤2）中，或者i=j，或者i+j=3，
考察a=n2+m2=(3k2+j)2-(3k1+i)2
=(3k2+j+m+3k1+i)(3
k2-3k1+j-i)
=[3(k2+k1)+(j+i)][3(k2-k1)+(j-i)]
发现,无论是I=j,
还是I+j=3,
都有一个因数3,因此a是3的倍数,
命题得证.
由于a、b是较小的两数，因此性质2还可加强为，勾股数组a、b、c三数中，较小的两数a、b中至少有一个是3的倍数。
至于上面套用的那个公式的证明...比较长
如果a、b、c是一组勾股数组，即若a2+b2=c2，那么(ka)2+(kb)2=k2(a2+b2)=(kc)2，k为正整数，由此得到ka，kb，kc也是一组勾股数组，如此即可得到一串无穷多的勾股数组，为此，我们求勾股数时，只要关心a、b、c是互质时的情况就够了。约定把互质的勾股数组叫做一组基础勾股数组。下面我们来求基础勾股数组，并规定以下出现的字母，均指正整数。
由a2+b2=c2，得b2=c2-a2=(c+a)(c-a),
且c>a,
c-a>0,
c+a>0,
c+a>b.
所以,
b/(c+a)=(c-a)/b=m/n成立,且m<n,
于是得
nb=mc+ma
(1)
mb=nc-na
(2)
(1)*n+(2)*m
得
(n2+m2)b=2mnc
因为n2+m2≠0,两边同除以[2mn(n2+m2)]得
b/2mn=c/n2+m2
(3)
(1)*n-(2)*m
得(n2-m2)b=2mna
同样,n2-m2≠0,两边同除以2mn(n2-m2)得
b/2mn=c/n2-m2
(4)
设b/2mn=k,
显然k>0,为一有理数.
故有公式
a=k(n2-m2)
A:
b=2kmn
c=(n2+m2)
为保证公式中a、b、c是正整数,k只能取使a、b、c为正整数的值，要使a、b、c互质，取k=1，由于m、n均为奇数时，n2-m2，n2+m2，2mn都有因数2，故除了m，n互质外，还要加一个条件：m，n奇偶不同，由此可得更简便的公式：
a=n2-m2
B：
b=2mn
（m<n，且奇偶不同的互质的正整数）
c=n2+m2
这样就得到了求基础勾股数组的公式。如果公式B中，只要求n、m是n>m的正整数，则得到的a、b、c仍是勾股数组，而不一定是基础勾股数组。