勾股数组里一定有一个数是3 的倍数吗？

Question

如题所述

Answer 1

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

参考资料：http://www.followtalk.com/information/2006322141842.htm

Answer 2

勾股数a、b、c三数中至少有一个是3的倍数。
证明：由公式
a=n2-m2
b=2mn
（m
a,
c-a>0,
c+a>0,
c+a>b.
所以,
b/(c+a)=(c-a)/b=m/n成立,且m
0,为一有理数.
故有公式
a=k(n2-m2)
a:
b=2kmn
c=(n2+m2)
为保证公式中a、b、c是正整数,k只能取使a、b、c为正整数的值，要使a、b、c互质，取k=1，由于m、n均为奇数时，n2-m2，n2+m2，2mn都有因数2，故除了m，n互质外，还要加一个条件：m，n奇偶不同，由此可得更简便的公式：
a=n2-m2
b：
b=2mn
（m
m的正整数，则得到的a、b、c仍是勾股数组，而不一定是基础勾股数组。