为什么勾股数中肯定有一个数是3的倍数和5的倍数

Question

我看了很多组勾股数，发现每组中都有是3的倍数和是5的倍数（有可能是同一个数）不知道为什么，请把推导过程也写清楚，答得好的给加分！

Answer 1

我们不妨设任一组勾股数：a,b,c，且令a^2+b^2=c^2
再引进两个整数p>q>0，令a=p^2-q^2，b=2pq，则c=p^2+q^2

假设a,b,c里边没有一个是5的倍数。
那么a=p^2-q^2=(p+q)(p-q)，b=2pq，因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍数。

于是，设任意非负整数m,n
p和q的组成形式只有：
1.p=5m+1，q=5n+2(或p=5m+2，q=5n+1)
2.p=5m+1，q=5n+3(或p=5m+3，q=5n+1)
3.p=5m+2，q=5n+4(或p=5m+4，q=5n+2)
4.p=5m+3，q=5n+4(或p=5m+4，q=5n+3)
<括号内不影响证明>

因此对于c=p^2+q^2
1.c=(5m+1)^2+(5n+2)^2=25m^2+10m+25n^2+20n+5【或c=(5m+2)^2+(5n+1)^2=25m^2+20m+25n^2+10n+5】，是5的倍数。
对于2.3.4情况同理。
与假设矛盾。

故a.b.c中必然有一个为5的倍数。
即一组勾股数中必然有一个数是5的倍数。
得证。

希望对您有帮助。

Answer 2

好像是的= =...这是为什么...