如何证明矩阵相似的充要条件是矩阵等价？

Question

如题所述

Answer 1

A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ，那么AB秩相等。

而AB相似是存在可逆阵P使B=P－1AP，由此可见相似的结论强于等价。

具有的性质更多了：比如特征值相同，行列式相同

等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。

A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。

扩展资料：

1,等价矩阵的性质：

2,矩阵A和A等价(反身性）；

3,矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

4,矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

5,矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

6,具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

87,对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

参考资料：等价矩阵——百度百科