凹函数和凸函数的定义到底是什么？

Question

如题所述

Answer 1

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。

凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。

扩展资料

每一个在内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么f(a + b) = f(a) + f(b）。如果我们把“凸”换为“凹”，那么该命题也成立。

每一个在内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如f(x) = aTx + b的函数，既是凸函数又是凹函数。

每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。

如果f是凸函数，那么当t > 0时，g(x,t) = tf(x / t）是凸函数。

单调递增但非凸的函数包括和g(x) = log(x）。

非单调递增的凸函数包括h(x) = x2和k(x) = − x。

函数f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在区间（0,+∞）内是凸函数，在区间（-∞，0）内也是凸函数，但是在区间（-∞，+∞）内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。

参考资料来源：百度百科-凸函数

参考资料来源：百度百科-凹函数

Answer 2

这几个定义等价，应该结合具体函数来记忆。
如 f(x)＝x²，图像上任意两点的连线都在这两点之间图像的上方，因此是凹函数(又叫下凸函数)。
同理 f(x)＝ - x² 是凸函数。追问

我们书上定义的与网上定义的不一样

这是为什么？

追答

明显是印刷错误，把图下凹凸俩字改过来即可，不必太过于纠结

追问

谢谢了

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Answer 3

若f''(x)>0,则称f(x)为凹函数；若f''(x)<0,则称f(x)为凸函数。追问

我们书上定义的

追答

看不清…………

Answer 4

数学系里的凸函数定义和非数学专业是相反的，你的书应该是数学分析1

Answer 5

根据你的考纲走