利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成

Question

∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2
我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,这样下去直接积或者坐标代换了之后都很难积啊
求教这个该怎么做好啊，

Answer 1

使用高斯公式后，化简后被积函数跟积分区域的圆柱体挺难构造关系，就按投影一步一步算吧。

∑被积区域可以看成3个平面围成，S1:z=R,S2:z=-R,S3:x^2+y^2=R^2.

可以看出S1,S2只在xoy平面内有投影，S3只在yoz平面有投影，所以积分dxdy部分只需考虑S1(令其对应积分值为I1),S2(令其对应积分值为I2),积分dydz只需考虑S3(令其对应积分值为I3)。
I=I1+I2+I3
I1=(S1)∑∫∫z^2/(x^2+y^2+z^2)dxdy
I2=(S2)∑∫∫z^2/(x^2+y^2+z^2)dxdy
I3=(S3)∑∫∫z/(x^2+y^2+z^2)dydz

将S1,S2对应曲面方程z=R,z=-R代入I1,I2中(Dxy表示曲面在xoy投影,Dyz表示曲面在yoz投影)。
I1=(Dxy)∫∫R^2/(z^2+y^2+R^2)dxdy
由于曲面是外侧，S2法相向量与坐标系方向夹角是钝角，曲面带入时积分值应加一个负号。
则I2=-(Dxy)∫∫(-R)^2/(z^2+y^2+(-R)^2)dxdy
=-(Dxy)∫∫R^2/(z^2+y^2+R^2)dxdy
=-I1
则I1+I2=0

I=I3，计算I3值即可，即∑为S3:x^2+y^2=R^2，所求积分I3=(S3)∑∫∫x/(x^2+y^2+z^2)dydz.
由于∑关于yoz平面对称，被积函数关于x为奇函数，
所以,将S3对应曲面方程x^2+y^2=R^2代入I3时，
得I3=2(Dyz)∫∫(R^2-y^2)^0.5/(R^2+z^2)dydz

画图可看出，曲面在yoz平面投影(Dyz)是个半径为r的正方形,y、z取值范围：-R<y<R,-R<z<R,
计算第一象限值，然后乘以4,
I3=2*4∫∫(R^2-y^2)^0.5/(R^2+z^2)dydz （x^2+y^2=R^2，x=(R^2-y^2)^0.5）
=8∫(R^2-y^2)^0.5dy∫dz/(R^2+z^2)
=8*I4*I5

I4关于变量y，I4=∫(R^2-y^2)^0.5dy
I5关于变量z，I5=∫dz/(R^2+z^2)

分别计算两个积分值大小，相乘即可。(只关心1/4的区域时，y、z取值都是0~R)
根据固定公式：∫(a^2-x^2)^0.5dx=0.5*a^2*arcsin(x/a)+0.5*x(a^2-x^2)^0.5+c
I4=[0.5*R^2*arcsin(y/R)+0.5y(R^2-y^2)^0.5]|(y：0~R)
=0.5*R^2arcsin1
=(πR^2)/4

I5=1/R*∫d(z/R)/[1+(z/R)^0.5] （分子分母同除R^2，分给dz一个R，外面流出一个1/R）
=1/R*arctan(z/R)|(z：0~R)
=1/R*arctan1
=1/R*π/4=π/(4R)

I=8*I4*I5
=8*[(πR^2)/4]*[π/(4R)]
=(8/16)*(R^2/R)*π*π
=Rπ^2/2

希望能帮到你