lim(x->0)[∫(0到x^2)ln(1+t)/t]dt/[x^2]=lim(x->0)[2x*ln(1+x^2)/x^2]/[2x]=1,(罗必达法则),这是复习全书上的答案,我的疑问是ln(1+t)/t这个函数在t=0这个点又不是连续的(因为在0这点没有定义啊),那么怎么在0到x^2这个区间上还可导呢?教材上的定义是:若f(x)在区间[a,b]上连续,则F(x)=∫(a到x)f(t)dt在[a,b]上可导,且F'(x)=f(x). 而我这个题是不满足这个条件的啊?
我学了广义积分啊,但是我这里是要对这个积分上限函数求导啊 ,不是求广义积分的积分值啊,书上好像没写广义积分的积分上限函数是否可导
追答广义积分有没有导数，不是看书本上是否说了，要根据导数的定义和计算去看。
对于广义积分∫（x0到a）f（x）dx=lim（t→x0）∫（t到a）f（x）dx。设g（x）是f（x）在（x0，a]上的一个原函数。则∫（x0到a）f（x）dx=lim（t→x0）∫（t到a）f（x）dx=lim（t→x0）（g（a）-g（t））=g（a）-lim（t→x0）g（t）。所以lim（t→x0）g（t）=g（a）-∫（x0到a）f（x）dx。所以当广义积分∫（x0到a）f（x）dx是有限值的时候，lim（t→x0）g（t）是有限值。所以g（x）在x0点有右极限。那么规定g（x0）=以lim（t→x0）g（t）的话，g（x）在[x0，a]这个闭区间就是连续的了。那么这个广义积分就和普通积分一样计算，有一样的性质。也能够求导了。
后来仔细一想,这里貌似根本就不是广义积分,ln(1+t)/t在x=0这点是第一类间断点,因为左右极限相等,都为1,有有限个第一类间断点的函数还是属于正常积分,何来广义积分的概念?
追答看我·我前面说的：
1、对于f（x）在x=x0处没有定义，但是是可去间断点，也就是在x=x0处有极限，但没函数值。那么就规定f（x）在x=x0处的值就等于极限。然后就和连续函数一样求极限。