第四节 最佳平方逼近多项式�
一 内积与正交多项式�
定义1 设 , 是〔a,b〕上的权函数,记
(1)�
称为函数 上带权 的内积。�
内积具有以下性质:�
① 对称性 ;�
② 齐次性 ;�
③ 可加性 ;�
④ 非负性 ,且 当且仅当 , �x∈〔a,b〕。
定义2 如果内积 (2)则称函数f,g在〔a,b〕上带权 正交。
例如,三角函数系 是 上带权 ≡1的正交函数系。
如果〔a,b〕上的连续函数系 满足
(3)�
则称 是〔a,b〕上带权 的正交函数系。如果 为多项式系, 且 是最高项系数 的n次多项式,则称 为区间〔a,b〕上 带权 的正交多项式系,并称 是〔a,b〕上带权 的n次正交多项式。�
利用Gram-Schmidt 方法可以构造出〔a,b〕上的带权 的正交多项式系 如下:
(4)�
这样构造出的正交多项式系 具有以下性质:�
① 是最高项系数为1的n次多项式;�
② 任意n次多项式均可表示为前n+1个 的线性组合;�
③ 对于任意i≠j, ,并且 与任一次数小于n的多项式都正交;�
④ 在区间〔a,b〕 内有n个互异的实零点。�
首项系数为1的正交多项式系 有下面递推关系:�
(5)
其中�
(6)
二 常见的正交多项式系�
1. 勒让德多项式�
在区间〔-1,1〕上权函数为 ≡1的正交多项式
(7)�
称为勒让德(Legendre)正交多项式,显然 的首项 的系数 ,故�
表示首项系数为1的勒让德多项式。
�勒让德多项式 具有以下性质:�
① 正交性�
(8)�
② 递推关系�
(9)
�由 递推可得
③ 奇偶性
即:当n为奇数时, 为奇函数;当n为偶数时, 为偶函数。�
④ 在区间〔-1,1〕内有n个互异的实零点。�
2.切比雪夫多项式�在区间〔-1,1〕上权函数为 的正交多项式�
(10)
称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。�
切比雪夫多项式具有以下性质:�
① 正交性
(11)�
② 递推关系�
(12)�
由 递推可得�
显然, 的首项系数 (n≥1)。�
③ 奇偶性 �当n为奇数时, 为奇函数;当n为偶数时, 为偶函数。即�
④ 在区间〔-1,1〕内有n个互异的实零点 。�
三 最佳平方逼近多项式�
定义3 设f(x)∈C〔a,b〕,若有一次数不超过n(n≤m)的多项式 ,使得
(1 3)�
称满足式(13)的 为f(x)在区间〔a,b〕上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数
的最小值。由多元函数求极值的必要条件,得�
即�
(14)�
式(14)是关于 的线 性方程组,用矩阵表示为
(15) �
式(14)或式(15)称为正规方程组或法方程组。
�可以 证明,方程组(15)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式(14)中解出 ,从而可得最佳平方逼近多项式
�若〔a,b〕=〔0, 1〕, ≡1,则
�方程组(15)的系数矩阵为
称为希尔伯特(Hierbert) 矩阵。以后,不特别声明,均取 ≡1。�
例1 求 在区间〔0,1〕上的二次最佳平方逼近多项式。�
解
得正规方程组�
解得 ,所以
�
用 作基,求最佳平方逼近多项式,当n 较大时,系数矩阵是病态矩阵, 求正规方程组的解,舍入误差会很大,这时选正交多项式为基,就可避免这种情况。
一般地,设
同式(14)的推导完全类似, 可得 应满足的正规方程组为
其中
�若取 ,则式(16)就是式(13);若取 为区间〔a,b〕上的正交多项式,则式(16)的系数矩阵为对角矩阵,解为
(17) �
例4 求 在区间〔-1,1〕上的三次最佳平方逼近多项式。
解 在式(16)中,取勒让德多项式系中 为基,则�
� 得�
所以
�对于有限区间〔a,b〕,做变量替换
于是 在区间〔-1,1〕上可用勒让德多项式为基求得最佳平方逼近多项式 ,从而得到在区间〔a,b〕的最佳平方逼近多项式 ,这与用(15)求得的是一致的,但用前者计算公式比较方便,不存在病态问题。
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