高数问题（曲线积分）

Question

设L是以O（0，0）A（1，0）B（0，1）为顶点的三角形区域的边界，则曲线积分I=∫L（x+y）ds的值为多少？

请给出解题步骤，谢谢
1—65怎么解呢。

Answer 1

1，沿x轴上0到1的积分，此时y=0，y'=0，积分=∫(1+y'^2)^(1/2)dx=∫xdx=1/2 (x积分下限0上限1），同理沿y轴的积分也等于1/2，而沿x+y=1的积分，把积分曲线代人得，积分=∫ds=根号2 （被积函数=1的对弧长的曲线积分等于该曲线长度），所以原积分=1/2+1/2+根号2=1+根号2
2，用极坐标，积分曲线为r=acosθ，则r'=-asinθ，所以积分=∫r(r^2+r'^2)^(1/2)=a^2∫cosθ=2a^2，（θ下限-π/2上限π/2）

Answer 2

分三段分别积分，将ds化为dx，注意一点：ds属于第一类曲线积分，没有方向，也就是说取积分限的时候，上限一定大于下限。这是第一类曲线积分与第二类曲线积分的区别。