在积分范围内，对于任何 y，可以看出绕 x = 3a 旋转一周后，得到是一个圆环。这个圆环的外周距离就是原来的圆左外侧 到直线 x = 3a 的距离。即：
x - a = -√(a²-y²)，即 x = a - √(a²-y²)
r1 = 3a - x = 3a - a + √(a²-y²) = 2a + √(a²-y²)
这个圆环的内圈到直线 x = 3a 的距离 就是积分范围内直线 y = x 到直线 x = 3a 的距离：
r2 = 3a - y
那么，在很小的高度 dy 范围内，可以把这个微元的体积 dV 当作一个圆环柱体，它等于这个圆环的面积 S 与 dy 的乘积。所以有：
dV = π×[(r1)² - (r2)²] ×dy
= π×{[2a+√(a²-y²)]² - (3a-y)²} ×dy
= π×{[4a²+4a×√(a²-y²) +(a²-y²)] - (9a² -6ay +y²)}×dy
= π×[4a√(a²-y²) +6ay - 2y² -4a²]×dy追问
x - a = -√(a²-y²)，即 x = a - √(a²-y²)
r1 = 3a - x = 3a - a + √(a²-y²) = 2a + √(a²-y²)
这个圆环的内圈到直线 x = 3a 的距离 就是积分范围内直线 y = x 到直线 x = 3a 的距离：
r2 = 3a - y
那么，在很小的高度 dy 范围内，可以把这个微元的体积 dV 当作一个圆环柱体，它等于这个圆环的面积 S 与 dy 的乘积。所以有：
dV = π×[(r1)² - (r2)²] ×dy
= π×{[2a+√(a²-y²)]² - (3a-y)²} ×dy
= π×{[4a²+4a×√(a²-y²) +(a²-y²)] - (9a² -6ay +y²)}×dy
= π×[4a√(a²-y²) +6ay - 2y² -4a²]×dy追问
没错 就是圆环面积乘以高dy
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第1个回答 2016-04-10
1、可以不用微元素法求体积
2、根据旋转体体积=πd²的定积分，d为曲线到旋转轴的距离
3、所围图形绕x=3a旋转一周，旋转体体积应是两个旋转体体积的差，从而直接得解答v=表达式
2、根据旋转体体积=πd²的定积分，d为曲线到旋转轴的距离
3、所围图形绕x=3a旋转一周，旋转体体积应是两个旋转体体积的差，从而直接得解答v=表达式