f(x)在c2[a,b],且f(a)=f(b)=0,求证max|f(x)|≤1/8(b-a)max

Question

f(x)在c2[a,b],且f(a)=f(b)=0,求证max|f(x)|≤1/8(b-a)max|f"(x)|

Answer 1

记|f(x0)|=max|f(x)|，不妨设f(x0)>=0，则f(x0)=max|f(x)|。易知f'(x0)=0。

应用带拉格朗日余项的泰勒公式有

0=f(a)=f(x0)+f'(x0)(a-x0)+f''(η1)(a-x0)^2/2=f(x0)+f''(η1)(a-x0)^2/2，a<=η1<=x0，

0=f(b)=f(x0)+f'(x0)(b-x0)+f''(η2)(b-x0)^2/2=f(x0)+f''(η2)(b-x0)^2/2，x0<=η2<=b。

因此

f(x0)=-f''(η1)(a-x0)^2/2<=max|f''(x)|(a-x0)^2/2，

f(x0)=-f''(η2)(b-x0)^2/2<=max|f''(x)|(b-x0)^2/2，

注意(a-x0)^2与(b-x0)^2至少有一个不超过(b-a)^2/4

因此f(x0)<=max|f''(x)|(b-a)^2/8。

扩展资料：

函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。

从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

参考资料来源：百度百科--函数

Answer 2

如图（点击可放大）：

BTW：你这是什么书啊？怎么看上去不像是普通的《数学分析》？

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Answer 3

记|f(x0)|=max|f(x)|，不妨设f(x0)>=0，则f(x0)=max|f(x)|。易知f'(x0)=0。
应用带拉格朗日余项的泰勒公式有
0=f(a)=f(x0)+f'(x0)(a-x0)+f''(η1)(a-x0)^2/2=f(x0)+f''(η1)(a-x0)^2/2，a<=η1<=x0，
0=f(b)=f(x0)+f'(x0)(b-x0)+f''(η2)(b-x0)^2/2=f(x0)+f''(η2)(b-x0)^2/2，x0<=η2<=b。
因此
f(x0)=-f''(η1)(a-x0)^2/2<=max|f''(x)|(a-x0)^2/2，
f(x0)=-f''(η2)(b-x0)^2/2<=max|f''(x)|(b-x0)^2/2，
注意(a-x0)^2与(b-x0)^2至少有一个不超过(b-a)^2/4
因此f(x0)<=max|f''(x)|(b-a)^2/8。

Answer 4

是分段差值的误差，此时h＝b-a

Answer 5

f(x)=c(a,b) f(x)=c(a,b) a=0 b= -2b b-a=-2b-a a+b=2a-2b 则c2=2²=4 c(1/8) f(x)=maxf(b-a)