数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的．它研究的对象本来是十分具体的，但为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，因此，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性．
而数学的抽象有着不同的方式，弱抽象是数学抽象的方式之一，而函数概念的每次扩张都是弱抽象，函数概念的发展成为理解弱抽象的一个典型事例．
弱抽象就是逐渐减弱对象的特殊性，即舍去对象的一些特征而仅抽取某一特殊或某个属性加以概括，形成比原对象更为普遍，更为一般的对象的一种抽象方法．
以现实事物或现象为原型进行基本概念的抽象就是一种弱抽象，它舍弃了事物或现象的一些物理或化学特征而仅抽取量性特征．
函数的概念最早产生于运动的研究．如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的．“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”；“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”；显然，只需引进适当的符号，上述的函数关系就可以明确的用数学形式表述： ； …以这些具体的函数为原型，17世纪的一些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念：
“函数是这样一个量，它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的．”
上述定义显然过于狭窄了，因为它事实上仅适用于代数函数的范围．因此，在其后的发展中，函数概念得到了进一步的扩展．随着数学研究的深入，人们逐渐接触到了一些超越函数，如对数函数，指数函数三角函数等，尽管这些函数已经超出了代数函数的范围，但是在一些数学家看来，两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次，从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念：
“函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式．”
这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄，在18世纪却曾长期占统治地位．
19世纪初，函数概念再次得到了扩展，函数的概念开始摆脱“解析表达式”，另外狄里克雷更提出了如下的函数概念：
“如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值同它对应，那么，y就是x的一个函数．”
最后，如果用任意的数学对象去取代具体的数量，并采用集合论的语言，则可以获得更为一般的“映射”概念：
如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射．
上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程．如下表：
参考资料：http://www.chifengedu.com/webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/15/kebiao/bsd/3/kzzl3.htm
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