设函数f(x)在数集X有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

Question

如题所述

Answer 1

……这个也需要证明？

|f(x)| ≤ M → -M ≤ f(x) ≤ M，所以有界则既有上界又有下界。

A ≤ f(x) ≤ B → |f(x)| ≤ max{|A|,|B|}，所以既有上界又有下界则有界。

Answer 2

必要性
f(x)在X上有界即存在M>0。对任意x∈X,有|f(x)|<M
所以 对任意x∈X, -M< f(x)<M
既有上界M又有下界－M.
充分性
f(x)在X上既有上界又有下界，由确界定理知f(x)在X上既有上确界F又有下确界G.
所以 对任意x∈X, G-1< G《f(x)《F<F+1,令M=max{|G-1|,|F+1|}
则对任意x∈X, |f(x)|<M成立
所以函数f(x)在X上有界。本回答被网友采纳