高数求极限例题看不懂，求解答

Question

怎么就等于二分之根号三了呢，吐血

Answer 1

①因为x→0时，sinx→0，tanx→0，1/x³â†’∞
所以原式<==> 1^∞
需要变化成 [1+0]^∞形式，也就是第一步：原式=[1+(1+tanx/1+sinx-1)]^(1/x³)
②上式再化简==> [1+(tanx-sinx/1+sinx)]^(1/x³)
={[1+(tanx-sinx/1+sinx)]^(1+sinx/tanx-sinx)}^[(tanx-sinx)/(1+sinx)×(1/x³)]
=e^[(tanx-sinx)/(1+sinx)×(1/x³)]
③再求指数极限(tanx-sinx)/(1+sinx)×(1/x³)
=[(sinx/cosx)-sinx]/(1+sinx)×(1/x³)
=[(sinx-sinxcosx)/(1+sinx)*cosx]×(1/x³)
=[sinx*(1-cosx)/(1+sinx)*cosx]×(1/x³)