高数1极限的两道题，求解答

Question

1.x趋近于无穷大 根号下((2x^2)+2x+1)/三次根号下((8x^3)-(x^2)+1) 求极限
2.x趋近于无穷大 (((3-4x)^6)((2x-1)^19))/(5x+1)^25 求极限

Answer 1

1、分子分母都除以x，然后都移到根号里面去，这时候 分子里面的根号就会出现2/x 与1/x平方，容易知道这两个当x趋向无穷时趋向于0，就是两个无穷小量。分母也经过同样处理，也出现了两个无穷小量与一个常数。从而得到了我们想要的解。应该是二分之根号2吧
2、分子分母都除以x的25次方，然后利用无穷小量，得到的应该是2的31次方除以5的25次方

Answer 2

1.x→∞lim[√(2x²+2x+1)]/[(8x³-x²+1]^(1/3) ；求极限

解：分子分母同除以x得：
原式=x→∞lim√[(2+(2/x)+(1/x²)]/[8-(1/x)+(1/x³)]^(1/3)=(√2)/[8^(1/3)]=(√2)/2
2.x→∞lim [(3-4x)⁶(2x-1)¹⁹]/(5x+1)²⁵； 求极限

解：分子分母同除以x²⁵得：
原式=x→∞lim [(4x-3)⁶(2x-1)¹⁹]/(5x+1)²⁵=x→∞lim[(4-3/x)⁶(2-1/x)¹⁹]/(5+1/x)²⁵=[(4⁶)(5¹⁹)]/5²⁵
=(4/5)⁶=0.8⁶=0.262144追问

第二题分子分母同除以x²⁵ 这个x²⁵为什么能随便进出括号？

追答

先看分子：[(4x-3)⁶(2x-1)¹⁹]/x²⁵=[(4x-3)⁶/x⁶][(2x-1)¹⁹/x¹⁹]=[(4x-3)/x]⁶[(2x-1)/x]¹⁹=(4-3/x)⁶(2-1/x)¹⁹；
再看分母：(5x+1)²⁵/x²⁵=[(5x+1)/x]²⁵=(5+1/x)²⁵
对吗？

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Answer 3

这两题是一种系列的题目，当你发现分子分母无法找出公因子而化简时，找出主要元素即可，x趋向无穷大，那么决定分子分母大小的无非是他们的最高次项将其他次要条件忽略即可
1注意分母是先忽略再开根号
2x是可以约掉的，最后剩下的是高次的数字追问

非常感谢您快速的回答 我是一个已经放下高数3年的学生 您说的我有点不明白 能麻烦您讲的再细致一些吗 谢谢

追答

x^2和x在x趋向于正无穷时你觉得谁增长的趋势比较快呢？很明显是x^2
那么x^2+x在x趋向正无穷时x是次要因素就可以忽略掉了

1 就是将其简化为2x^2/三次根号下8x^3
2简化为((-4x)^6)((2x)^19)/(5x)^25