线性代数(四)线性方程组

Question

如题所述

Answer 1

方程组

称为m个方程n个未知量的齐次线性方程组,其向量形式为

其中

其矩阵形式为

其中

当 时( 线性无关)，方程组又唯一零解

当 时( 线性相关)，方程组有非零解，且有n-r个线性无光解

若 , 则 , 其中 是任意常数.

设 满足

则称 为方程组 的基础解系

设 是方程组 的基础解系，则 是方程组 的通解，其中 是任意常数

其中,m是原方程组中方程个数,n是未知量个数.

方程组

称为m个方程n个未知量的齐次线性方程组,其向量形式为

其中

其矩阵形式为

其中

矩阵 称为矩阵 的增广矩阵,简记成 或

若 不能由 线性表出 , 则方程组无解;

若 即 线性无关 线性相关),则方程组有唯一解

若 , 则方程组有无穷多解.

设 是非齐次线性方程组 的解， 是对应齐次线性方程组 的解则：

将增广矩阵作初等行变换化成阶梯形(或最简阶梯形)矩阵,求出对应齐次线性方程组的通解,再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解

若n个方程n个未知数的线性方程组

其中

若系数行列式|A|≠0则方程组有唯一解

其中

的系数行列式不等于0，则方程组只有0解

有非零解，则系数行列式|A|=0