高数极限证明问题

Question

高数极限证明问题请详细说明思路，谢谢！

Answer 1

1）数列极限存在的充要条件是，数列单调有界。

x(n+1)=√(6+xn)>√6，显然下确界存在。其上确界应为xn<3。下面用数学归纳法证明。

n=1，x1=√6<3成立；
假设n=k时，xk<3成立，
则当n=k+1时，x(k+1)=√(6+xk)<√(6+3)=3也成立

因此对所有的n，都有xn<3成立。

当xn<3时，x(n+1)-xn>0，即xn单调递增。

因此{xn}单调有界，极限limxn存在

2）设lim x(n+1)=lim xn=a

则有lim x(n+1)=lim √(6+xn)=√(6+a)=a，求得a=lim xn=3
（a=-2不满足要求）

Answer 2