若函数f(x）,gx）分别为R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)-g(x)=e的x方，则g(0),f(2),f(3)的大小关系为？

Question

我根据图像猜的g(0)<f(2)<f(3）不知道对不对.....不知道要怎么证

Answer 1

题中告诉了f(x)-g(x)
又有f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数。
f、g有不同的奇偶性，所以就会出现f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]
也就是说很容易构造出f(x)+g(x)
那么有了f(x)-g(x)，f(x)+g(x)， 就可以求出f(x)、g(x)了

完整解答如下：
因为 f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数
所以，任取x属于R， 都有：
f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x) （1）
而 f(x)-g(x)=e^x (2)
用-x代替其中的x也是成立的，即：f(-x)-g(-x)=e^(-x)
用（1）式代入有 ： f(x)+g(x)=-e^(-x) (3)
(1)+(3)有： 2f(x)=e^x-e^(-x) 即： f(x)=1/2[e^x-1/(e^x)] ( 注意：e^(-x)=1/e^x)
(3)-(1)有： 2g(x)=-1/(e^x)-e^x 即：g(x)=-1/2[1/(e^x)+e^x]
因而:x>0时，e^x>1>1/(e^x) f(x)>0 故f(3)>0 f(2)>0
而显然g(0)<0
下面只需要比较f(3)和f(2)的大小关系即可。这就是f(x)的单调性了
当x>0时，u=e^x是增函数， 1/(e^x)是减函数 故：-1/(e^x)是增函数
因而 f(x)=1/2[e^x-1/(e^x)] 是增函数。
有f(3)>f(2)
综上： g(0)<f(2)<f(3)