关于二元函数极限的问题

二元函数的极限要求自变量以任意方式趋于(x0,y0)时极限都要相等
但是即使自变量以沿着任意直线趋于(x0,y0)时极限都相等,也无法保证f(x,y)在(x0,y0)处有极限,这是为什么呢?
比如f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),自变量以沿着任意直线趋于(0,0)时极限都相等(趋于1),但是沿y^2=x趋于(x0,y0)时,函数值趋于0
虽然很容易从数值计算上得出这一结论,但是我不知道如何从实质上分析
按道理来说,当点沿着y^2=x趋于(0,0)时,若无限接近(0,0),y^2=x应该与其在(0,0)处的切线无限接近,也就是说在极限状态下,y^2=x应与其切线一致,那么,点在曲线上运动和在曲线的切线上运动有何不同呢

粗略的理解, 切线只是曲线在某点邻域上的一个线性近似.
将沿曲线运动的点换为沿切线运动, 难免产生一定的误差.
这个误差的大小一方面依赖于曲线与切线的接近程度,
另一方面依赖f(x,y)在该点附近的光滑程度.

对于问题中的例子, 考虑y² = x上的动点(a²,a), 与(0,0)处的切线x = 0上的动点(0,a).
两点间的距离只有a², 当a趋于0时算是相对高阶的无穷小.
但是对于固定的a, f(x,a)在x = 0附近有较为剧烈的变化,
表现为偏导数f'x(0,a) = -2/a², 随a趋于0而趋于无穷.
这导致虽然x变化不大(a²级别), 但是函数值变化还是较大(常数1).
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第1个回答  2014-09-22
郭敦顒回答:
对于举例f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),来说,“自变量以沿着任意直线趋于(0,0)时极限都相等(趋于1)”是有待商讨的,
若y= kx,k≠0,则(y^2-x)^2/(y^4+x^2)=[(kx)^2-x] ²/[(kx)^4+(kx)^2]
则x→0,lim f(x,y)= lim f(x)= lim{[(kx)^2-x] ²/[(kx)^4+(kx)^2] },这是0/0型求极限题,需用罗彼塔法则求解了,
x→0,lim{[(kx)^2-x] ²/[(kx)^4+(kx)^2] }
=[(kx)^2-x]²′/[(kx)^4+(kx)^2]′
=2[(kx)^2-x]× 2k²x/(4 k4x3+2k²x)
=2[(kx)^2-x]/(2k²x²+1)
=0/1=0。
“当点沿着y^2=x趋于(0,0)时,”
显然, (y^2-x)^2/(y^4+x^2)= (x-x)^2/( 2x^2)=0。
第2个回答  2014-09-21
极限存在要左右极限相等。如果x,y的定义域有限制,很可能左右极限是不同的。追问

我问的是二元函数

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