设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足 Aα1=2α1，Aα2=2α2-α1，Aα3=α3，（1）证明α

Question

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足 Aα1=2α1，Aα2=2α2-α1，Aα3=α3，（1）证明α1，α2，α3线性无关．（2）记P=（α1，α2，α3），构造矩阵B，使得AP=PB．（3）证明A不相似于对角矩阵．（4）求A的特征向量．

Answer 1

解（1）由Aα₁=2α₁，Aα₂=2α₂-α₁，Aα₃=α₃，得
（A-2E）α₁=0，（A-2E）α₂=-α₁，（A-E）α₃=0
设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0
A-2E左乘上式得-k₂α₁-k₃α₃=0
用A-E左乘上式得 k₁α₁+k₂α₂=0
且α₁，α₂，α₃不为零向量，由Aα₁=2α₁，Aα₃=α₃，知 α₁，α₃为A的特征向量
∴α₁，α₃线性无关
∴上面的两个等式中，k₂=k₃=0，k₁α₁=0
∴k₁=0
∴α₁α₂α₃线性无关．
（2）∵AP=（2α₁，2α₂-α₁，α₃）=（α₁，α₂，α₃）

2 ?1 0 0 2 0 0 0 1

∴矩阵B可以是

2 ?1 0 0 2 0 0 0 1

（3）AP=PB
∴A=PBP^-1
且α₁α₂α₃线性无关
∴P为可逆矩阵
∴A相似与矩阵B
矩阵B不可逆，则A也不可逆
（4）∵A，B相似
∴它们有相同的特征值
即为2，2，1
由Aα₁=2α₁，Aα₂=2α₂-α₁，Aα₃=α₃，知
α₁，α₃为A的特征向量