利用定积分的柯西-许瓦茨不等式，可得|f(1)|小于等于右边的定积分，不等式恒成立则，|f(x)|的最大值小于等于右边的定积分。
令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续。
故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ
下面用反证法证明 ξ 只有一个。
假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0
由罗尔中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2), F '(η) = f '(η) - 1 = 0
=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾，假设错误。
因此在(0,1)内有唯一点，使得 f(ξ) = ξ
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。