第1个回答 2010-09-03
(1)∵函数f(x)=lnx-a/x(a∈R),其定义域为(0,+ ∞)
令F’(x)=1/x+a/x^2=0==>x=-a
F’’(x)=-1/x^2-2a/x^3==> F’’(-a)=-1/a^2+2/a^2>0,∴函数f(x)在x=-a处取极小值
∵a∈[-e,-1]
当a=-e时,函数f(x)在x=e处取极小值,f(x)在[1,e]上的单调减;
当a=-1时,函数f(x)在x=1处取极小值,f(x)在[1,e]上的单调增;
当a∈(-e,-1)时,函数f(x)在x=-a处取极小值,f(x)在[1,-a]上的单调减;在[-a,e]上的单调增。
(2)∵f(x)<x,在[1,+ ∞)上恒成立
设h(x)= lnx-a/x-x
令h’(x)= 1/x+a/x^2-1=0 (a>=-1/4)
X1=1/2-√(1+4a)/2, X2=1/2+√(1+4a)/2
X1=1/2-√(1+4a)/2>0==>-1/4<=a<0
H”(x)= -1/x^2-2a/x^3==> H”(x1)>0, H”(x2)<0, h(x) 在x1处取极小值,在x2处取极大值
即此时0<x1,x2<1
h(1)= -a-1<0,∴在[1,+ ∞)上h(x)<0,即f(x)<x,在[1,+ ∞)上恒成立
∴当a∈[-1/4,0]时,满足f(x)<x,在[1,+ ∞)上恒成立
当a∈[-1,-1/4)时,h’(x)<0, h(x)在定义域内单调减
h(1)= -a-1<0,∴满足f(x)<x,在[1,+ ∞)上恒成立
当a∈(-∞,-1)时, h(1)= -a-1>0,∴不满足f(x)<x,在[1,+ ∞)上恒成立
当a∈(0,+∞)时, h(1)= -a-1<0,∴满足f(x)<x,在[1,+ ∞)上恒成立
综上:当a∈[-1, +∞)时,满足f(x)<x,在[1,+ ∞)上恒成立。