什么是隐零点？

Question

如题所述

Answer 1

隐零点就是指一个函数 f(x) ，你可以利用零点的判断原理知道它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体等于多少却无法计算。

比如说，可以证明，方程1x=ex在 (0,+∞) 存在一个零点，但是因为这是一个超越方程，这个零点等于多少就不得而知了。

那么隐零点有什么用呢？下面让我们看一道简单的题目。

题目：求函数f(x)=xex−ln x−1x的最小值。

看到求最大值最小值的问题，我们的第一反应往往是求导寻找极值点，让我们来试一试：f′(x)=x(x+1)ex−1−xex+ln x+1x2=x2ex+ln xx2我们令 g(x)=x2ex+ln x ，下面我们来看看函数 g(x) 是否存在零点。

结合零点存在性原理，我们有g(1)=e>0g(1e)=1e2⋅e1e−1<1e2⋅e−1=1e−1<0从而函

数 g(x) 在区间 (1e,1) 上存在零点，假设 g(x0)=0 。同时由于函数 g(x) 是单调递增函数，所以 x0 是函数 g(x) 的唯一一个零点，函数 f(x) 在点 x=x0 处取到极小值。

但是到现在我们只能判断出函数 f(x) 存在一个极小值点，但是我们并不知道 x0 是一个什么样的值，所以此时这个 x0 就构成了一个隐零点。