为什么说离散空间中,X的每一个子集都是开集?

Question

如题所述

Answer 1

一般空间中元素不一定是开集，全集与空集是开集这是开集公理的定义，仅仅是定义而已。

对于离散空间中任意一点x来说，考察x的邻域系中的一个元U，由于单点集{x}也是x的一个邻域，而{x}包含于U，根据第一可数性公理的定义，可得离散空间是A1空间。

由于离散空间中的每一个单点子集都是开集，而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集，所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间。

邻域注意：

在离散空间中，单点集是邻域，非离散空间中往往不如此。一个点的若干邻域之并也是邻域。一个点的两个邻域不一定有包含关系，但它们的交集往往是一个更小的邻域。

注意某些书要求邻域必须是开集，某些书只要有开邻域作为子集就可以。初等的微积分课程中，往往把欧式空间的小球形才算作邻域。