拓扑空间（topological space），赋予
拓扑结构的集合。如果对一个非
空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如
邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。
在
微积分学中，实一维
欧几里得空间R′上的开集具有性质： ①任意个开集的并是开集 。
拓扑空间
②有限个开集的交是开集。 ③R′及空集是开集。对任一非空集合X，若X的一个子集族J 满足： ①J
中元的任意并在J中。 ②J中元的有限交在J中。 ③X、空集在J中，则称J是X的一个拓扑，J中的元称为开集，X连同拓扑J称为一个拓扑空间，记为（X，J）。 注意到如能在X中给出度量则自然在X中给出拓扑（由度量决定的开集）。 于是度量空间都是拓扑空间。但不是所有拓扑空间都可定义度量，使得该度量下的开集族与原拓扑空间的开集族一致；详见度量化定理。
对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。
拓扑空间
设X是非空集合，令J0＝｛X，｝，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1＝｛A｜AÌX｝，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令J＝｛BÌR1｜"x∈G，∈ε＞0，使（x－ε，x＋ε）ÌG｝，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。 设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值
连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）＝r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数
一致连续。若AÌRn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。
拓扑空间
称拓扑空间为Hausdorff空间，如果空间中任意两点有不交的邻域。注意有些拓扑空间不是Hausdorff空间，如定义了平凡拓扑的空间，连续函数芽集等。
欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构,简称拓扑,是指J满足下列三个条件：
相关书籍
①空集和x本身是J的元; ②J内任意有限多个元的交仍是J的元； ③J内任意多个元的并仍是J的元。 集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。例如，x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑，对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。如果集x上定义了一个度量或距离函数，那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑，叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地，拓扑J的一个子族B称为J的一个基，是指 J的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑J是由B生成的。拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交，于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。
积空间
任意两个集 A1和 A2的
笛卡儿积定义为集。两个拓扑空间x1与x2的笛卡儿积x1×x2上可以引入乘积拓扑如下:其基中的元是形如 A1×A2的集, 这里 Ai是 xi的任意开集,i=1,2。这样得到的拓扑空间称为空间x1与x2的积空间。x1与x2叫因子空间。积空间可以推广到任意多个因子的情况。 任意集族{Aα}α∈I的笛卡儿积可类似地定义为集这里Aα是xα的任意开集，并且这些Aα(α∈I)中除有限多个外都等于xα。这样得到的拓扑空间称为空间族{xα}α∈I的积空间。
拓扑空间
商空间
设x 是拓扑空间，将x 划分为两两不相交的子集, 把每个子集看作一个点, 就得到一个新的集H。H的每个点可以看作是由x 的某个相应子集中的点重叠而成。规定H的子集U是开集当且仅当U的一切元的并是x的开集。这样，H便构成一个拓扑空间，叫x的商空间。例如,让x表平面上的长方形带ABCDEF,并作为数平面R2的子空间。先把带扭转180°,再把FD边与CA边粘合起来，这样得到的图形叫
麦比乌斯带。这时点A与D重合，C与F、B与E也重合,等等。如果将x划分为下列两两不相交的子集：｛A,D｝,｛C,F｝,｛B,E｝,…以及所有单
点集｛p｝，这里p是x的不在两条竖直边上的点。所得的商空间就是麦比乌斯带。
连续映射与同胚
设ƒ是空间x 到空间Y的映射，即对于x内每一点x,Y内有惟一一点y与它对应。这个y叫x在ƒ下的像,记为ƒ(x)；称ƒ是连续映射是指对Y的每个开集G,其逆像ƒ-1【G】={x∈x｜ƒ(x)∈G}是x的开集。如果x内任意两个不同的点有不同的像，就称ƒ是单射。如果Y内每一点必是x 内某一点的像，就称ƒ是
满射。从空间x到Y的每个既单又满映射ƒ必有逆映射g,它是Y到x上的既单又满映射，这里g(y)=x当且仅当ƒ(x)=y。这时如果ƒ和g都连续，便称ƒ为同胚映射。两个拓扑空间称为同胚的,是指它们之间存在一个同胚映射。n维欧几里得空间Rn的任一开球作为子空间与Rn同胚。另一方面，1913年荷兰数学家L.E.J.布劳威尔证明了：当m不等于n时,Rm与Rn不同胚。
第一与第二可数空间
拓扑空间称为第二可数的是指它的拓扑有一个可数基。Rn是第二可数空间，因为半径与球心坐标皆为有理数的一切开球组成Rn上拓扑的可数基。设A是空间x的任一子集。x的子集W 称为子集A的邻域是指存在开集U包含A且包含在W内。点x的邻域即子集{x}的邻域。由点x的一切邻域组成的集族Ux叫点的邻域系。Ux的子族Bx称为x的邻域基或局部基是指对于Ux的每个元U，Bx中相应地有元B,使B吇U。如果空间x 的每一点都有一个可数局部基，便称为第一可数空间。第二可数空间与度量空间都是第一可数空间。
相关书籍
紧空间
拓扑空间x的子集族 U称为x 的覆盖是指x 可表为U的一切元的并。由开集组成的覆盖叫开覆盖。如果T2空间x的每个开覆盖有一个有限子族仍是x的覆盖，则x称为紧空间。n维欧几里得空间Rn中的有界闭集，即可以包含于某个球内的闭集，作为Rn的子空间是紧空间。但Rn本身不是紧空间。任意一族紧空间的积空间仍是紧空间。连续映射把紧空间映成紧空间，只要映成的空间是T2的。与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。1924年，苏联拓扑学家∏.C.乌雷松证明了：紧空间是可度量的当且仅当它是第二可数的。在第二可数或度量空间范围内，一个空间是紧的当且仅当它是列紧的，即是T2空间且它的每个点列有一个收敛子序列。
仿紧空间
1944年由法国数学家J.迪厄多内提出的仿紧空间是紧空间的一种重要推广。空间内的一个子集族U称为局部有限的是指空间内每一点有一个邻域与U内至多有限多个元相交。设U、V是空间x的任二开覆盖,如果U的每个元是V的某个元的子集，则称U加细V或U是V的一个加细。一个T2空间称为仿紧空间是指对于它的每个开覆盖V，存在一个局部有限的开覆盖U加细V。紧空间和度量空间都是仿紧空间。
连通空间
有一类简单的
几何图形只由“一片”所组成，这就是连通空间的直观含义。拓扑空间称为连通空间是指它不能表示为两个不相交的不空开集的并。等价地，从它到由两个点组成的离散空间的每个连续函数是常值的，即每一点的像皆相同。Rn是连通空间。R1内的连通子空间恰好是区间，包括带一个或两个端点的或不带端点的，有限或无限的。每个紧连通空间称为连续统。编辑本段分离
公理 主要有下面几条。
T1分离公理
空间内任何两个不同的点都各有一个领域不含另一点。
豪斯多夫分离公理
（T2分离公理) 空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。
正则分离公理
空间内每一点以及不含该点的任一闭集都各有邻域互不相交。
全正则分离公理
对于空间x 内每一点x及不含x的任一闭集B，存在连续映射ƒ∶x→【0,1】，使得ƒ(x)=0且对B内每一点y，ƒ(y)=1。
正规分离公理
空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。 满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。