11的勾股数是11，60，61。
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股数分为两类，互质勾股数，非互质勾股数。1.1互质勾股数，指 a,b,c没有公因数。如3,4,5 5,12,131.2非互质勾股数，为互质勾股数的倍数。如3,4,5 x2,可以得到6,8,10 ，x3，可以得到 9,12,15 2.互质勾股数，格式都为 奇数²+偶数²=奇数² 2.1互质勾股数的通项公式为a,b,c= n²-m² , 2nm , n²+m² ，n,m均为正整数，n>m，n,m互质，n+m=奇数。2.2勾股数通项公式为a,b,c= 2knm , k(n²-m²) , k(n²+m²) ，k,n,m均为任意正整数，n>m2.3勾股数只有两种，奇数²+偶数²=奇数² ，偶数²+偶数²=偶数² 。2.4通项公式，指给定任意一组勾股数a,b,c，都可解三元方程得出唯一的k,n,m的值(n,m互质)，反之同理。3.互质勾股数，a可以为任意奇数(不含1)，b可以为任意 4的倍数，c可以为 [4的倍数+1，且为质数] 及它们的乘积。3.1勾股数，a可以为任何数(>2)，b为4的倍数，c为 质因子至少有一个满足 4m+1 。3.2若c= n个不同的 [4m+1,且为质数] 的乘积，则互质勾股数a,b,c有2ⁿ⁻¹组，勾股数a,b,c有(3ⁿ-1)/2组。3.3若c分解质因数，满足[4m+1]且均不相等的因数为n个，不满足[4m+1]的因数为m个，n≥1，m≥1，则互质勾股数a,b,c有0组，勾股数a,b,c有(3ⁿ-1)/2组。3.4若c= [4m+1,且为质数]ⁿ ，则互质勾股数a,b,c有1组，勾股数a,b,c有n组。4.勾股数a,b,c的乘积，都是60的倍数。4.1勾股数a,b的乘积，都是12的倍数。4.2勾股数a, b, (a + b), (b − a)中必有一个是7的倍数，(a + c), (b + c), (c − a), (c − b) 中必有一个是8的倍数，(a + c), (b + c), (c − a), (c − b) 中必有一个是9的倍数，a, b, (2a + b), |2a − b|, (2b + a), (2b − a) 中必有一个是11的倍数。5.三边长为勾股数的直角三角形，称为勾股三角形。勾股三角形的的两个锐角，称为勾股角。5.1任取一个勾股角，作为直角三角形的一个锐角，则该直角三角形任取两边之比均为有理数，与某个勾股三角形相似。5.2取任意两个勾股三角形中的两个角(可取直角)，相加或相减，必为勾股角或直角。(如计算值超出0~90度范围，再加上或减去一个直角即可)6.待补充。如果大家发现其他规律，可以在评论区补充，我会注明发现者。如果需要关于某条规律的详细证明，可以在评论区索要。6.1走过路过，点个赞呗~ 6.2 c小于4000万的所有互质勾股数.txt关于题主推论的证明首先，根据上述第三条，b一定能被4整除。设a=3k+r，r=0,1,2a²=3(3k²+2kr)+r²，r²/3的余数=0,1,1可得，a²只能是3n或3n+1。b²，c²也如此。若a和b均不为3n，则c²的余数只能为2，矛盾！所以a,b中至少有一个数是3n。所以ab是12的倍数。同理，设a=5k+r, r=0,1,2,3,4a²=5(5k²+2kr)+r²，r²/5的余数=0,1,4,4,1可得，a²只能是5n或5n+1或5n+4。b²，c²也如此。若a和b和c均不为5n，则a²+b²的余数只能是0和2和3。而c²的余数只能为1和4，矛盾！所以a,b中至少有一个数是5n。所以abc是60的倍数。同理可证上述4.2条勾股数生成-Python 3# python3 作者 知乎_陈炳好
# 不建议输入大于1000的数，要算很久。
while 1:
try: max=int(input('最大值：'))+1
except: pass
else: break
print('"勾股数 n=2~' + format(max-1) + '，aa+bb=cc ，a.b.c为正整数，a.b.c互质。计算公式：a.b.c=nn-mm . 2nm . nn+mm ，n.m为正整数，n>m，n+m=奇数，n和m互质。"')
print('a b c n m')
for a in range(2,max,1):
for b in range(a%2+1,a,2):
m,n=a,b
while n!=0: n,m=m%n,n
if m==1: print(a*a-b*b,2*a*b,a*a+b*b,' ',a,b)
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