首先找到勾股数11,60,61。这是含有11的唯一勾股数。
过程及原因如下:
假设a,b,11为一组勾股数
若11²=a²+b²,直接a、b枚举,结果是不存在;(其实这种情况无需讨论,因为11不可能作为斜边,题目中含有11的是直角边)
若11²=a²-b²,得11²=(a+b)(a-b)
巧妙利用性质:11为质数。。所以只可能是{a+b=121,a-b=1}
得a=61,b=60
即勾股数11,60,61是含有11的唯一勾股数。
由图,好像CD>BD的样子,要使三边都为整数
BD:CD:BC=11:60:61
由相似三角形性质,得
CD:DA:CA=11:60:61
∴CD=11×11×60
BC=11×11×61
DA=11×60×60
CA=11×60×61
满足要求
∴所求周长之比为11:60
你可能会问,为什么不去找含有121的勾股数呢?含有1331的勾股数呢?含有1的勾股数呢?
由相似三角形性质,得 DA=1331×(CD/BD)²
若寻找的勾股数为121,a,b(a<b),其中121、a、b两两互质
则CD/BD的化简结果为:a/121。计算得DA=a²/11。由互质的性质,分母的11无法除掉。所以DA不是整数。
若寻找的勾股数为1331,a,b,那更不可能了,DA=a²/1331.
勾股数不可能含有1。
CD/BD化简结果只可能为:a/11,(其中11,a,b为一组勾股数)才满足要求。所以必须找到一个含有11的勾股数。
此时DA=a²×11,多出一个11没有除掉。其实这个图所有边长都为11的倍数,原因也在此了。
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