用确界原理证明阿基米德原理

Question

如题所述

Answer 1

用确界原理证明阿基米德原理如下：

阿基米德原理:Vx>0,y∈R,3n∈N+,使nx>y.证明:假设命题不成立，则3xo>0,y∈R,Vn∈N+,都有nxo≤y.设S={nxo:x∈N+}则y是S的一个上界,由确界原理知S必有上确界.记a=supS,则Ve>0，3np∈N+,使noxo>a-E.特别地,取ε=x则3nø∈N+,(no+1)xo>a.又(np+1)xo∈S,这与a是S的上确界矛盾,故假设不成立,即阿基米德原理成立。

确界原理：

确界原理(supremumandinfimumprinciple)是刻画实数连续性的命题之一。设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界;若S有下界，则S必有下确界。

有界集定义：

设S为R的一个数集。若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。例题:证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证明任何一个不大于零1的实数都是N+的下界，故N+为有下界的数集。现在要证N无上界，按照定义只需证明对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n0(∈N+)，使n0>M。事实上对于任何一个正数M，总存在一个数N=[M]+1([X]表示不超过X的最大整数)，使得N>M.这就证明了N+无上界。

阿基米德原理：

流体静力学的一个重要原理，它指出，浸入静止流体中的物体受到一个浮力，其大小等于该物体所排开的流体重量，方向竖直向上并通过所排开流体的形心。这结论是阿基米德首先提出的，故称阿基米德原理。结论对部分浸入液体中的物体同样是正确的。同一结论还可以推广到气体。