要计算不定积分
可以尝试将分母进行因式分解,然后观察是否能够简化表达式。
首先,我们要因式分解
找到两个数,它们的乘积为常数项(-2)与二次项系数(1)的乘积,而它们的和为一次项系数(-1)。这两个数是 -2 和 1。因此,我们可以将分母进行因式分解:
现在,我们可以重写不定积分:
接下来,我们可以尝试拆分分式为部分分式。设
将分子通分,得到:
接下来,我们可以解这个等式找到 A 和 B 的值。将 x 分别取为 2 和 -1,得到以下两个方程:
现在,我们可以将这些值代入部分分式分解中:
最终,我们可以计算不定积分:
这个积分的结果是:
其中,C 是积分常数。
不定积分∫x/(x^2-x-2 )dx的结果为2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C。
解:因为x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1)),
令x/((x-2)*(x+1))=A/(x-2)+B/(x+1)=(Ax+A+Bx-2B)/((x-2)*(x+1)),
可得A=2/3,B=1/3。那么,
∫x/(x^2-x-2)dx
=∫x/((x-2)*(x+1))dx
=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx
=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx
=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+C
扩展资料:
1、因式分解的方法
(1)十字相乘法
对于x^2+px+q型多项式,若q可分解因数为q=a*b,且有a+b=p,那么可应用十字相乘法对多项式x^2+px+q进行因式分解。
x^2+px+q=(x+a)*(x+b)
(2)公式法
平方差公式,a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。
完全平方和公式,a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
完全平方差公式,a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。
2、不定积分凑微分法
通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例:∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C
直接利用积分公式求出不定积分。
3、不定积分公式
∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cscxdx=-cotx+C
参考资料来源:百度百科-不定积分