求f(x)=xln(1-x)在x=0处的2013阶导数

如题所述

推荐答案 2014-11-25

f(x) = xln(1-x), å®ä¹å x<1.
f'(x) = ln(1-x) +x/(x-1) = ln(1-x) +1+1/(x-1)
f''(x) = -1/(1-x) - 1/(x-1)^2 = 1/(x-1) - 1/(x-1)^2,
f'''(x) = -1/(x-1)^2+1*2/(x-1)^3,
f^(4)(x) = 1*2/(x-1)^3 - 1*2*3/(x-1)^4,
........................
f^(n)(x) = (-1)^n [(n-2)!/(x-1)^(n-1)-(n-1)!/(x-1)^n] (nâ¥2)
f^(2013)(0) = - [ 2011! - 2012!/(-1)] = - (2011!+2012!) = - 2013*2011!

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