可测性条件如何判断集合A是可测集合呢？

Question

如题所述

Answer 1

内外测度相等性是概率论中的一个重要概念，它可以用来推断一个集合的可测性。根据外测度和内测度的定义，如果一个集合的外测度等于其内测度，那么这个集合就是可测的。

具体来说，对于一个集合A，我们可以定义它的外测度为E(A)=sup{|A∩B|:B是一个σ代数}，其中sup表示上确界。而内测度则定义为I(A)=inf{m(A∩C):C是一个可测集}，其中inf表示下确界。如果E(A)=I(A)，那么我们就说集合A是可测的。

利用内外测度相等性来推断一个集合的可测性的方法如下：

1.首先，我们需要确定给定的集合A是否满足可测性条件。这可以通过计算A的外测度和内测度来实现。如果E(A)=I(A)，那么A就是可测的；否则，A就不是可测的。

2.如果A是不可测的，那么我们可以考虑将A分解成一些不相交的子集，然后分别计算这些子集的外测度和内测度。如果存在一个子集使得其外测度等于其内测度，那么我们就可以说A是可测的。

3.如果A是可测的，那么我们可以利用内外测度相等性来构造一些特殊的σ代数。例如，我们可以构造一个包含所有形如{x:x属于A且x属于某个开集}的集合的σ代数。这个σ代数具有很好的性质，可以帮助我们更好地理解A的结构。