不共线向量证明

Question

如果e1，e2是同一平面内的两个不线两向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数
为什么？证明证明？

Answer 1

明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则3a-2b=3(a1,a2)-2(b1,b2)=(3a1-2b1,3a2-2b2),要证明三向量终点在一条直线上，即是证明如下两条向量共线：向量a终点到向量3a-2b的终端的向量、向量b终点到向量3a-2b终点的向量共线。向量a终点到向量3a-2b的终端的向量：(3a1-2b1,3a2-2b2)-(a1,a2)=(3a1-2b1-a1,3a2-2b2-a2)=(2a1-2b1,2a2-2b2),向量b终点到向量3a-2b终点的向量:(3a1-2b1,3a2-2b2)-(b1,b2)=(3a1-2b1-b1,3a2-2b2-b2)=(3a1-3b1,3a2-3b2),根据向量共线平行定理：向量u不等于0，向量v平行于向量u的充要条件是：存在唯一的实数k，使(向量v)=k(向量u).显然，(3a1-3b1,3a2-3b2)=3(a1-b1,a2-b2)=k(2a1-2b1,2a2-2b2)=2k(a1-b1,a2-b2),k=3/2,使得关系式成立，即：（向量b终点到向量3a-2b终点的向量）=(3/2)（向量a终点到向量3a-2b的终端的向量）,故 （向量b终点到向量3a-2b终点的向量）与（向量a终点到向量3a-2b的终端的向量）共线,从而 证明原命题。