如何证明若向量a与b不共线, 则向量c与a,b共面的充要条件是存在实数 k , l 使得 c = k a +l b .

如题所述

推荐答案 2019-09-21

证明：
三个向量a、b、c共面的充要条件是：存在不全为零的实数k1、k2、k3，使得
k1 a+k2 b+k3 c＝0 ①
由于a与b不共线，所以k3≠0（否则①式成为k1 a+k2 b＝0，即a与b共线，与已知矛盾！）。①式两边同除以k3，得
k1/k3 a+k2/k3 b+ c＝0，
即c＝-k1/k3 a-k2/k3 b. ②
记-k1/k3＝k，-k2/k3＝I，②式成为
c＝ka+Ib. ③
因此，c与a、b共面的充要条件是存在实数k、I使得③成立。

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